積分のフーリエ変換 - こにょにょの冒険

以下の積分
$\int_{-\infty}^{t}s(t')dt'$
のフーリエ変換を求めます。
(※以下に述べることは、斉藤洋一著『信号とシステム (コロナ社)』に書いてあります。)

方針としては、この積分は $s(t)$ とヘビサイド関数の畳み込みなので、ヘビサイド関数のフーリエ変換を求めることに帰着します。(畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の積なので)

ヘビサイド関数は符号関数から求められます。 $\theta(t) = \frac{sgn(t) + 1}{2}$ です。
ヘビサイド関数 $\theta(t)$

符号関数 $sgn(t)$

ヘビサイド関数のフーリエ変換を求めるために符号関数のフーリエ変換を求めます。
符号関数は次の関数 $g(t)$ の極限をとったものです。

$g(t) = \left\{\begin{array}{l}e^{-at}\theta(t)\,\,\,(t\geq0) \\-e^{at}\theta(-t)\,\,\,(t<0)\end{array}\right.$

$\mathcal{F}[sgn(t)] = \lim_{a\to 0}\mathcal{F}[g(t)] = \frac{1}{j\pi f}$

$\mathcal{F}[\theta(t)] = \mathcal{F}[\frac{sgn(t) + 1}{2}]=\frac{1}{2}\mathcal{F}[sgn(t)] + \frac{1}{2}\mathcal{F}[1]=\frac{1}{j 2\pi f} + \frac{1}{2}\delta(f)$

さて、ヘビサイド関数のフーリエ変換が求まりました。これを使って積分のフーリエ変換を求めます。積分は畳み込みです。
$\int_{-\infty}^{t}s(t')dt'=\int_{-\infty}^{\infty}s(t')\theta(t-t')dt' = s(t)*\theta(t)$
畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の積です。
$\mathcal{F}[\int_{-\infty}^{t}s(t')dt'] = \mathcal{F}[s(t)*\theta(t)] = \mathcal{F}[s(t)]\mathcal{F}[\theta(t)]=\frac{1}{j 2\pi f}S(f) + \frac{1}{2}S(0)\delta(f)$