【通信方式】周期信号は偶数次信号と奇数次信号の和で書ける

守倉正博編著「OHM大学テキスト通信方式」で勉強している。今日の勉強のまとめを書いてみる。

周期 $T$ の複素信号 $x(t)$ は以下のフーリエ級数で表せる。
$x(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}C_{n}e^{j\frac{2\pi n}{T}t}$
$C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t}dt$

ここで $x(t)$ は偶数次の信号 $x_{1}(t)$ と奇数次の信号 $x_{2}(t)$ の和で書ける。
$x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$

$x_{1}(t)$ , $x_{2}(t)$ はそれぞれ以下の性質をもつ。
$x_{1}(t+\frac{T}{2})=x_{1}(t)$
$x_{2}(t+\frac{T}{2})=-x_{2}(t)$

これらの式より、以下が成り立つ。
$x(t+\frac{T}{2})=x_{1}(t)-x_{2}(t)$

よって、 $x_{1}(t)$ , $x_{2}(t)$ は $x(t)$ を用いて、以下のように書ける。
$x_{1}(t)=\frac{x(t)+x(t+\frac{T}{2})}{2}$
$x_{2}(t)=\frac{x(t)-x(t+\frac{T}{2})}{2}$