二項分布とポアソン分布

確率pで表が出るコインがあります。これをn回投げて、n回中x回表がでる確率はいくつでしょう？答えは以下のような確率になります。
p(x)={}_{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x}
これは二項分布という確率分布です。
Xを表がでる回数とするとE(X)=npとなります。
E(X)=\lambdaで、nが無限大の確率分布をポアソン分布と呼びます。
ポアソン分布は以下のようになります。
p(x)=\lim_{n\rightar\infty}{}_{n}C_{x}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{x}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}
=\frac{\lambda^{x}}{x!}\lim_{n\rightar\infty}\left{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-\frac{n}{\lambda}}\right}^{-\lambda}
=\frac{\lambda^{x}}{x!}e^{-\lambda}